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数的分解

知识点编程知识

题目描述：

给定一个正整数n，如果能够分解为m(m > 1)个连续正整数之和，请输出所有分解中，m最小的分解。

如果给定整数无法分解为连续正整数，则输出字符串"N"。

输入描述：

输入数据为一整数，范围为（1, 2^30]

21

输出描述：

21=10+11

补充说明：

21可以分解的连续正整数组合的形式有多种

21=1+2+3+4+5+6

21=6+7+8

21=10+11

输出，21=10+11，是最短的分解序列。

示例：

Python算法源码

def get_result(n):
    if n == 1:
        return "N"
  
    # 如果 n 为奇数，将其分解为两个数
    if n % 2 != 0:
        return f"{n}={n//2}+{n//2 + 1}"
  
    # 如果 n 为偶数，找到其最大奇数因子 x
    x = n // 2
    while x % 2 == 0:
        x //= 2
  
    # 如果从偶数 n 分解得到的连续正整数序列的长度为偶数，则最短长度为 minEvenLen
    min_even_len = n // x * 2
    min_even_len_start = x // 2 - (min_even_len // 2 - 1)
  
    # 如果从偶数 n 分解得到的连续正整数序列的长度为奇数，则最短长度为 minOddLen
    min_odd_len = get_min_odd_len(n, x)
    min_odd_len_start = n // min_odd_len - ((min_odd_len - 1) // 2)
  
    # 连续正整数序列中的每个元素都是正整数，因此需要确保首元素大于等于 1
    if min_even_len_start >= 1 and min_odd_len_start >= 1:
        if min_even_len < min_odd_len:
            len_val = min_even_len
            start_val = min_even_len_start
        else:
            len_val = min_odd_len
            start_val = min_odd_len_start
    elif min_even_len_start >= 1:
        len_val = min_even_len
        start_val = min_even_len_start
    elif min_odd_len_start >= 1:
        len_val = min_odd_len
        start_val = min_odd_len_start
    else:
        return "N"
  
    result = f"{n}="
    for i in range(start_val, start_val + len_val):
        result += f"{i}+"
    return result[:-1]  # 去除末尾多余的 '+'

def get_min_odd_len(n, x):
    # 需要遍历从 3 到 x 的所有奇数，尝试作为 n 分解出来的连续正整数数列的长度
    if x < 3:
        return -1
  
    # 找到能被 n 整除的最小奇数
    for i in range(3, int(x**0.5) + 1, 2):
        if n % i == 0:
            return i
  
    return x

if __name__ == "__main__":
    n = int(input())  # 输入 n 的值
    print(get_result(n))  # 输出结果字符串

C算法源码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int n; // 全局变量 n，用于存储输入的数值

// 获取 x 的最小奇数长度
int getMinOddLen(int x) {
    if (x < 3) // 如果 x 小于 3，则不存在奇数长度的数列，返回 -1
        return -1;
  
    int i = 3;
    while (i * i <= x) { // 遍历 3 到 x 中的所有奇数，尝试作为 n 分解出来的连续正整数数列的长度
        if (n % i == 0) // 如果 n 能被 i 整除，则返回 i
            return i;
        i += 2; // 继续遍历下一个奇数
    }
  
    return x; // 如果没有找到合适的奇数长度，则返回 x 作为最小奇数长度
}

// 获取结果字符串
char* getResult() {
    static char result[100]; // 假设结果字符串的最大长度为 100，静态分配空间

    if (n == 1) { // 如果 n 等于 1，无法分解，返回 "N"
        return "N";
    }
  
    if (n % 2 != 0) { // 如果 n 是奇数，固定分解为两个数
        sprintf(result, "%d=%d+%d", n, n / 2, n / 2 + 1); // 格式化字符串
        return result; // 返回结果字符串
    }

    int x = n / 2;
    while (x % 2 == 0) // 计算 n 的最大奇因数 x
        x /= 2;

    int minEvenLen = n / x * 2; // 偶数长度的最小奇数长度
    int minEvenLen_start = x / 2 - (minEvenLen / 2 - 1); // 偶数长度数列的首元素
  
    int minOddLen = getMinOddLen(x); // 奇数长度的最小奇数长度
    int minOddLen_start = n / minOddLen - (minOddLen - 1) / 2; // 奇数长度数列的首元素

    int length, start;

    if (minOddLen_start >= 1 && minEvenLen_start >= 1) {
        if (minEvenLen < minOddLen) { // 如果偶数长度小于奇数长度，选择偶数长度
            length = minEvenLen;
            start = minEvenLen_start;
        } else { // 否则选择奇数长度
            length = minOddLen;
            start = minOddLen_start;
        }
    } else if (minEvenLen_start >= 1) {
        length = minEvenLen;
        start = minEvenLen_start;
    } else if (minOddLen_start >= 1) {
        length = minOddLen;
        start = minOddLen_start;
    } else {
        return "N"; // 如果无法得到有效的数列，返回 "N"
    }

    int arr[length]; // 存储数列的数组
    for (int i = 0; i < length; i++) { // 构建数列
        arr[i] = start + i;
    }

    sprintf(result, "%d=", n); // 将 n 加入到结果字符串中
    for (int i = 0; i < length; i++) { // 将数列中的数加入到结果字符串中
        if (i != 0)
            sprintf(result + strlen(result), "+");
        sprintf(result + strlen(result), "%d", arr[i]);
    }

    return result; // 返回结果字符串
}

int main() {
    scanf("%d", &n); // 输入 n 的值
    printf("%s", getResult()); // 输出结果字符串
    return 0;
}

Java算法源码

import java.util.Scanner;

public class Main {

    /**
     * @param n 要被分解的正整数（偶数）
     * @param x n的最大奇因数
     * @return n分解出来的连续正整数数列的最短奇数长度
     */
    static long getMinOddLen(long n, long x) {
        // 我们需要遍历 3~x 中的所有奇数，尝试作为 n 分解出来的连续正整数数列的长度len
        if (x < 3) {
            return -1;
        }

        // 找到可以被n整除的最小奇数，由于x是n的最大奇因数，因此这里直接对奇数x进行因数分解
        for (long i = 3; i * i <= x; i += 2) { // 如果x可以分解为两个奇数y,z，则必然：y <= z，因此x分解出来的最小奇数不可能超过sqrt(x)
            if (n % i == 0) {
                return i;
            }
        }

        return x;
    }

    static void getResult(long n) {
        if (n == 1) {
            System.out.println("N");
            return;
        }

        // 如果 n 是奇数, 那么固定分解为两个数
        if (n % 2 != 0) {
            System.out.printf("%d=%d+%d\n", n, n / 2, n / 2 + 1);
            return;
        }

        // 如果 n 是偶数, 那么首先求出 n 的最大奇因数 x
        long x = n / 2;
        while (x % 2 == 0) {
            x /= 2;
        }

        // 如果偶数 n 分解出来的连续正整数数列的长度是偶数，则最短长度为minEvenLen
        long minEvenLen = n / x * 2;
        //  minEvenLen_start 是偶数长度连续正整数数列的首元素，其中
        //    x/2是连续正整数中间两个数的左边那个数
        //    (len / 2 - 1) 是连续正整数数列首元素 ~ 连续正整数中间两个数的左边那个数 的距离
        long minEvenLen_start = x / 2 - (minEvenLen / 2 - 1);

        // 如果偶数 n 分解出来的连续正整数数列的长度是奇数，那么最短长度为minOddLen
        long minOddLen = getMinOddLen(n, x);
        //  minOddLen_start 是奇数长度连续正整数数列的首元素，其中
        //    n/len是连续正整数中间的那个数
        //    ((len - 1) / 2) 是是连续正整数数列首元素 ~ 连续正整数中间那个数 的距离
        long minOddLen_start = n / minOddLen - ((minOddLen - 1) / 2);

        long len;
        long start;

        // 连续正整数数列中每个元素都是正整数，因此求解出来的首元素需要大于等于1
        if (minEvenLen_start >= 1 && minOddLen_start >= 1) {
            if (minEvenLen < minOddLen) {
                len = minEvenLen;
                start = minEvenLen_start;
            } else {
                len = minOddLen;
                start = minOddLen_start;
            }
        } else if (minEvenLen_start >= 1) {
            len = minEvenLen;
            start = minEvenLen_start;
        } else if (minOddLen_start >= 1) {
            len = minOddLen;
            start = minOddLen_start;
        } else {
            System.out.println("N");
            return;
        }

        System.out.printf("%d=", n);
        for (long i = start; i < start + len; i++) {
            System.out.print(i);
            if (i < start + len - 1) {
                System.out.print("+");
            } else {
                System.out.println();
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        long n = scanner.nextLong();

        getResult(n);
    }
}