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题目描述

小明和朋友们一起玩跳格子游戏，

每个格子上有特定的分数 score = [1, -1, -6, 7, -17, 7]，

从起点score[0]开始，每次最大的步长为k，请你返回小明跳到终点 score[n-1] 时，能得到的最大得分。

输入描述

第一行输入总的格子数量 n

第二行输入每个格子的分数 score[i]

第三行输入最大跳的步长 k

输出描述

输出最大得分

示例：

题目解析

假设第 i 个格子的最大得分为 dp[i]，那么存在如下递推公式：

dp[i] = max(dp[i-k], dp[i-k+1], ...., dp[i-2], dp[i-1]) + score[i]

可以发现，dp[i]的状态取决于 dp数组的 i-k \~ i-1 范围内的最大值状态。即第 i 个格子想要最大得分，可以从第 i-k 到 第 i-1 个格子中选择一个最大得分的格子起跳。

Python算法源码

from collections import deque

def get_result(n, scores, k):
    # 第i个格子，可以从第i-k个格子~第i-1个格子调过来，因此本题滑窗的长度相当于k+1
    length = k + 1

    # dp[i]表示跳到第i个格子能得到的最大分数
    dp = [0] * n
    dp[0] = scores[0]

    # 单调队列（单调递减，队首是滑窗最大值）
    queue = deque()
    queue.append(dp[0])

    # 初始滑窗的形成过程（即只有新增尾部元素的过程）
    for i in range(1, min(length, n)):  # 注意当length > n时，需要取n，此时只有滑窗形成过程，没有滑窗移动过程
        # dp[i] = max(dp[0]~dp[i-1]) + scores[i]
        # 即单调队列队首保存的是max(dp[0]~dp[i-1])
        dp[i] = queue[0] + scores[i]

        # 保持单调队列的单调递减性，即如果后入队的dp[i] 大于 队尾元素，则队尾元素出队
        while queue and dp[i] > queue[-1]:
            queue.pop()

        # 当队尾没有比dp[i]更小的元素后，dp[i]才能入队
        queue.append(dp[i])

    # 滑窗的右移过程（即相较于老滑窗失去一个首元素，新增一个尾元素）
    for i in range(length, n):
        # 如果滑窗失去的元素dp[i - length]，和单调队列的队首元素queue[0]相同，则单调队列需要弹出头部元素
        if dp[i - length] == queue[0]:
            queue.popleft()

        # 下面逻辑同之前
        dp[i] = queue[0] + scores[i]

        while queue and dp[i] > queue[-1]:
            queue.pop()

        queue.append(dp[i])

    return dp[n - 1]


if __name__ == "__main__":
    n = int(input())
    scores = list(map(int, input().split()))
    k = int(input())

    result = get_result(n, scores, k)
    print(result)

C算法源码

#include <stdio.h>

#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

int getResult(int n, int scores[], int k) {
    // 第i个格子，可以从第i-k个格子~第i-1个格子调过来，因此本题滑窗的长度相当于k+1
    int length = k + 1;

    // dp[i]表示跳到第i个格子能得到的最大分数
    int dp[n];
    dp[0] = scores[0];

    // 单调队列（单调递减，队首是滑窗最大值）
    int queue[n];
    int front = 0, rear = 0;
    queue[rear++] = dp[0];

    // 初始滑窗的形成过程（即只有新增尾部元素的过程）
    for (int i = 1; i < (length < n ? length : n); i++) {  // 注意当length > n时，需要取n，此时只有滑窗形成过程，没有滑窗移动过程
        // dp[i] = max(dp[0]~dp[i-1]) + scores[i]
        // 即单调队列队首保存的是max(dp[0]~dp[i-1])
        dp[i] = queue[front] + scores[i];

        // 保持单调队列的单调递减性，即如果后入队的dp[i] 大于 队尾元素，则队尾元素出队
        while (rear > front && dp[i] > queue[rear - 1]) {
            rear--;
        }

        // 当队尾没有比dp[i]更小的元素后，dp[i]才能入队
        queue[rear++] = dp[i];
    }

    // 滑窗的右移过程（即相较于老滑窗失去一个首元素，新增一个尾元素）
    for (int i = length; i < n; i++) {
        // 如果滑窗失去的元素dp[i - length]，和单调队列的队首元素queue[front]相同，则单调队列需要弹出头部元素
        if (dp[i - length] == queue[front]) {
            front++;
        }

        // 下面逻辑同之前
        dp[i] = queue[front] + scores[i];

        while (rear > front && dp[i] > queue[rear - 1]) {
            rear--;
        }

        queue[rear++] = dp[i];
    }

    return dp[n - 1];
}

int main() {
    int n, k;
    scanf("%d", &n);
    int scores[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &scores[i]);
    }
    scanf("%d", &k);

    int result = getResult(n, scores, k);
    printf("%d\n", result);

    return 0;
}

Java算法源码

java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        int n = scanner.nextInt();
        int[] scores = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scores[i] = scanner.nextInt();
        }
        int k = scanner.nextInt();

        int result = getResult(n, scores, k);
        System.out.println(result);
    }

    public static int getResult(int n, int[] scores, int k) {
        // 第i个格子，可以从第i-k个格子~第i-1个格子调过来，因此本题滑窗的长度相当于k+1
        int length = k + 1;

        // dp[i]表示跳到第i个格子能得到的最大分数
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = scores[0];

        // 单调队列（单调递减，队首是滑窗最大值）
        Deque<Integer> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(dp[0]);

        // 初始滑窗的形成过程（即只有新增尾部元素的过程）
        for (int i = 1; i < Math.min(length, n); i++) { // 注意当length > n时，需要取n，此时只有滑窗形成过程，没有滑窗移动过程
            // dp[i] = max(dp[0]~dp[i-1]) + scores[i]
            // 即单调队列队首保存的是max(dp[0]~dp[i-1])
            dp[i] = queue.peekFirst() + scores[i];

            // 保持单调队列的单调递减性，即如果后入队的dp[i] 大于 队尾元素，则队尾元素出队
            while (!queue.isEmpty() && dp[i] > queue.peekLast()) {
                queue.pollLast();
            }

            // 当队尾没有比dp[i]更小的元素后，dp[i]才能入队
            queue.offer(dp[i]);
        }

        // 滑窗的右移过程（即相较于老滑窗失去一个首元素，新增一个尾元素）
        for (int i = length; i < n; i++) {
            // 如果滑窗失去的元素dp[i - length]，和单调队列的队首元素queue.peekFirst()相同，则单调队列需要弹出头部元素
            if (dp[i - length] == queue.peekFirst()) {
                queue.pollFirst();
            }

            // 下面逻辑同之前
            dp[i] = queue.peekFirst() + scores[i];

            while (!queue.isEmpty() && dp[i] > queue.peekLast()) {
                queue.pollLast();
            }

            queue.offer(dp[i]);
        }

        return dp[n - 1];
    }
}